Representation Theory

Trong bài viết này, chúng ta sẽ đề cập đến lý thuyết biểu diễn nhóm.
Kí hiệu
         $\mathbb{F}$ là một trường
         $V$ là một không gian vecto trên $\mathbb{F}.$
         $G$ là một nhóm hữu hạn.
         $GL_n(\mathbb{F})$ là nhóm các ma trận trong nghịch với các phần tử của ma trận nằm trong trường $\mathbb{F}.$

Định nghĩa 1. Cho $G$ là một nhóm hữu hạn, $\mathbb{F}$
       (1) Một biểu diễn tuyến tính của $G$ là một đồng cầu đi từ $G$ vào $GL(V).$ Bậc của biểu diễn là chiều của không gian $V.$
       (2) Cho $n \in \mathbb{Z}^+$. Một biểu diễn ma trận của $G$ là một đồng cấu từ $G$ vào $GL_n(\mathbb{F}).$
       (3) Một biểu diễn tuyến tính hay một biểu diễn ma trận được gọi là trung thành nếu nó là đơn ánh.
        (4) Vành nhóm của $G$ trên $\mathbb{F}$ là tập hợp các tổng hình thức có dạng $$ \sum_{g \in G} \alpha_g g, \alpha_g \in \mathbb{F}$$ với hai phép tính cộng và nhân $(\alpha g) (\beta h) = (\alpha \beta)(gh).$

Khi chúng ta muốn làm rõ trường biểu diễn $\mathbb{F}$ thì ta sẽ nói $\mathbb{F}-representation.$
Chú ý rằng, trong trường hợp $V$ là một không gian vecto có chiều bằng $n,$ khi đó bằng cách cố định một cơ sở của $V$ ta thu thu được một đẳng cấu $GL(V) \cong GL_n(\mathbb{F}).$ Do đó, một biểu thị tuyến tính của $G$ trên một không gian vecto hữu hạn chiều cho ta một biểu diễn ma trận và ngược lại.

Sau đây, chúng ta sẽ đi vào một vài ví dụ của thể của biểu diễn và thảo luận về sự tương ứng giữa biểu diễn của $G$ và $\mathbb{F}G - modules$
Đầu tiên, giả sử rằng $\varphi: G \to GL(V)$ là một  biểu diễn của $G$ trên $\mathbb{F}-$ không gian vecto $V.$ Khi đó nếu $G = \{ g_1, g_2, \dots, g_n\}$ thì với mọi $i \in \{1,2,\dots,n\}$ ta có $\varphi(g_i)$ là một phép biến đổi tuyến tính từ $V$ và chính nó. Xem $V$ như là một $\mathbb{F}G-modules$ bằng cách định nghĩa tác động của vành phần tử lên các phần của $V$ như sau:
$$ \left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i g_i\right)\cdot v = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \varphi(g_i) (v),$$ với mọi  $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i g_i \in \mathbb{F}G, v \in V.$


Định lý 2. Có một tương tương 1-1 giữa $\mathbb{F}G-modules$ và cặp $(V,\varphi).$  Cụ thể
$$\left\{ V \text{ là một } FG-module \right\} \leftrightarrow \left\{ V \text{ là một không gian vecto và } \varphi : G \to GL(V) \text{ là một biểu diễn}\right\} $$

Như vậy khi với một biểu diễn $\varphi: G \to GL(V)$ trên $F$-kgvt V$ thì tương đương với cho một $FG-module V.$

Ví dụ 
 (1) Cho $V$ là một không gian vecto một chiều trên $F$ và đặt $V$ vào trong một $FG-module$ bởi phép tác động trái $gv  = v$ với mọi $g \in G, v \in V.$ Khi đó module này cho ta biểu diễn $\varphi: G \to GL(V)$ được định nghĩa bởi $\varphi(g) = Id_V,$ với mọi $V \in G.$  Tương ứng với biểu diễn ma trận của $G$ vào $GL_1(F)$ gửi tất cả các phần tử của nhóm vào ma trận đơn vị $1 \times  1.$

(2) Đặt $V = FG$ và xét vành như là một module trái với chính nó. Khi đó $V$ cho ta một biểu diễn của $G$ với bậc bằng |G|.

(3) Nếu $\phi : H \to GL(V)$ là motoj biểu diễn bất kì của $H$ và $\varphi: G \to H$ là một đồng cấu nhóm bất khi, khi đó hợp thành $\phi \circ \varphi$ là một biểu diễn của $G.$

(4) Một đồng cấu của $G$ vào nhóm nhân $F^{\times} = GL_1(F)$ là một biểu diễn có bậc bằng 1. Ví dụ, giả sử $G = <g> \cong Z_n$ là một nhóm cyclic cấp $n$ và $\xi$ là một căn bậc $n$ của $1$ cố định trong $F.$ Cho $g^i \mapsto \xi^i$ với mọi $i \in \mathbb{Z}.$ Biểu diễn này của $<g>$ là một biểu diễn trung thành khi và chỉ khi $\xi$ là một căn nguyên thủ bậc $n$ của $1.$